џWPCL ћџ2BJ|xа АH аа АА X агга ХА6p&А6p&Х аеЮ† а Hр аааУ Уб cмˆ4 PŽТ б Fascicle II.3 Р-Р Rec. E.507 Ф ФPAGE1У Уб cмˆ4 PŽТ б ЮееЃ† а HH аааб cмˆ4 PŽТ бPAGE20У Уб cмˆ4 PŽТ б Fascicle II.3 Р-Р Rec. E.507 Ѓеа H№ ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаа X  аб cмˆ4 PŽТ бAll drawings appearing in this Recommendation have been done in Autocad. ‚У УRecommendation E.507Ф ФУУб cмˆ4 PŽТ б1ж   а HH ааа1)б cмˆ4 PŽТ бФФThe old Recommendation E.506 which appeared in theУУ Red BookФФ was split into two Recommendations, revised E.506 and new E.507, and considerable new material was added to both. ж)ФФб cмˆ4 PŽТ бУ У аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр(AСб cмˆ4 PŽТ бMODELS FOR б cмˆ4 PŽТ бFORECASTING INTERNATIONAL TRAFFIC аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ б1ТX ТIntroductionФ ФЦЦ а H аС СEconometric and time series model development and forecasting requires familiarity with methods and techniques to deal with a range of different situations. Thus, the purpose of this Recommendation is to present some of а H аthe basic ideas and leave the explanation of the details to the publications cited in the reference list. As such, this Recommendation is not intended to be a complete guide to econometric and time series modelling and forecasting. а H аС СThe Recommendation also gives guidelines for building various forecasting models: identification of the model, inclusion of explanatory variables, adjustment for irregularities, estimation of parameters, diagnostic checks, etc. а H аС СIn addition the Recommendation describes various methods for evaluation of forecasting models and choice of model. ‚У У2ТX ТBuilding the forecasting modelФ ФЦЦ а H аС СThis procedure can conveniently be described as four consecutive steps. The first step consists in finding a useful class of models to describe the actual situation. Examples of such classes are simple models, smoothing models, autoregressive models, autoregressive integrated moving average (ARIMA) models or econometric models. Before choosing the class of models, the influence of external variables should be analyzed. If special external variables have significant impact on the traffic demand, one ought to include them in the forecasting models, provided enough historical data are available. а H аС СThe next step is to identify one tentative model in the class of models which have been chosen. If the class is too extensive to be conveniently fitted directly to data, rough methods for identifying subclasses can be used. Such methods of model identification employ data and knowledge of the system to suggest an appropriate parsimonious subclass of models. The identification procedure may also, in some occasions, be used to yield rough preliminary estimates of the parameters in the model. Then the tentative model is fitted to data by estimating the parameters. Usually, maximum likelihood estimators or least square estimators are used. С СThe next step is to check the model. This procedure is often called diagnostic checking. The object is to find out how well the model fits the data and, in case the discrepancy is judged to be too severe, to indicate possible remedies. The outcome of this step may thus be acceptance of the model if the fit is acceptable. If on the other hand it is inadequate, it is an indication that new tentative models may in turn be estimated and subjected to diagnostic checking. С СIn Figure 1/E.507 the steps in the model building procedure are illustrated. ‚Ср KСб cмˆ4 PŽТ бFigure 1/E.507 Љ CCITT 64250 б cмˆ4 PŽТ б У У3ТX ТVarious forecasting modelsФ ФЦЦ а H аС СThe objective of РSР 3 is to give a brief overview of the most important forecasting models. In the GAS 10 Manual on planning data and forecasting methods [5], a more detailed description of the models is given. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС3.1С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУCurve fitting modelsЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СIn curve fitting models the traffic trend is extrapolated by calculating the values of the parameters of some function that is expected to characterize the growth of international traffic over time. The numerical calculations of some curve fitting models can be performed by using the least squares method. С СThe following are examples of common curve fitting models used for forecasting international traffic: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи 8"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СLinear:С8"IССHI(#@СƒУУYУУtФФФФ =УУ aФФ +УУ btСK #LСФФ(3Р-Р1) С СParabolic:СH8";СƒУУYУУtФФФФ =УУ aФФ +УУ btФФ +УУ ctФФУУб cмˆ4 PŽТ б2СL$MСб cмˆ4 PŽТ бФФ(3Р-Р2) С СExponential:СH8"BСƒУУYУУtФФФФ =УУ aeУУб cмˆ4 PŽТ бbtСK #LСб cмˆ4 PŽТ бФФФФ(3Р-Р3) а HH аС СLogistic:С8"IСУУYУУtФФФФ = УУeq \f( M,ФФ1 +УУ aeУУб cмˆ4 PŽТ бbtб cмˆ4 PŽТ бФФ)ФФСH`x-EС(3ƒР-Р4) С СGompertz:С8"IСУУYУУtФФФФ =УУ MФФ(УУaФФ)УУУУб cмˆ4 PŽТ бbtСHTи'EСƒб cмˆ4 PŽТ бФФФФ(3Р-Р5) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУYУУtФФФФ is the traffic at timeУУ tФФ, С СУУa, b, cФФ are parameters, С СУУMФФ is a parameter describing the saturation level. а H№ аС СThe various trend curves are shown in Figures 2/E.507 and 3/E.507. а H аС СThe logistic and Gompertz curves differ from the linear, parabolic and exponential curves by having saturation or ceiling level. For further study see [10]. ‚Ср KСб cмˆ4 PŽТ бFIGURE 2/E.507 Љ T0200660Љ87 б cмˆ4 PŽТ б Ср KСб cмˆ4 PŽТ бFIGURE 3/E.507 Љ T0200670Љ87 б cмˆ4 PŽТ б аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС3.2С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУSmoothing modelsЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СBy using a smooth process in curve fitting, it is possible to calculate the parameters of the models to fit current data very well but not necessarily the data obtained from the distant past. а H аС СThe best known smoothing process is that of the moving average. The degree of smoothing is controlled by the number of most recent observations included in the average. All observations included in the average have the same weight. С СIn addition to moving average models, there exists another group of smoothing models based on weighting the observations. The most common models are: Та ТР-РТ№ Тsimple exponential smoothing,ЦЦ Та ТР-РТ№ Тdouble exponential smoothing,ЦЦ Та ТР-РТ№ Тdiscounted regression,ЦЦ Та ТР-РТ№ ТHolt's method, andЦЦ Та ТР-РТ№ ТHoltР-РWinters' seasonal models.ЦЦ а H аС СFor example, in the method of exponential smoothing the weight given to previous observations decreases geometrically with age according to the following equation: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сeq \o(\s\up4(^),mƒУУУУt)ФФФФ = (1 Р-РУУ aФФ)УУYУУtФФФФ +УУ aФФeq \o(\s\up4(^),m)УУУУtб cмˆ4 PŽТ бФФР-Р1СHJ(#FСƒб cмˆ4 PŽТ бФФ(3Р-Р6) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere: С СУУYУУtФФФФ is the measured traffic at timeУУ tФФ, С СmУУУУtФФФФ is the estimated level at timeУУ tФФ, and С СУУaФФ is the discount factor [and (1 Р-РУУ aФФ) is the smoothing parameter]. С СThe impact of past observations on the forecasts is controlled by the magnitude of the discount factor. С СUse of smoothing models is especially appropriate for shortР-Рterm forecasts. For further studies see [1], [5] and [9]. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС3.3С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУAutoregressive modelsЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СIf the traffic demand,УУ XУУtФФФФ, at timeУУ tФФ can be expressed as a linear combination of earlier equidistant observations of the past traffic demand, the process is an autoregressive process. Then the model is defined by the expression: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СXƒб cмˆ4 PŽТ бУУtФФб cмˆ4 PŽТ бФФ = FУУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бУУФФXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б + Fб cмˆ4 PŽТ бУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ бУУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р2ФФб cмˆ4 PŽТ б + . . . + Fб cмˆ4 PŽТ бУУУУpФФб cмˆ4 PŽТ бXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-РУУpФФФФб cмˆ4 PŽТ б +УУ aУУб cмˆ4 PŽТ бtСHCА"FСƒб cмˆ4 PŽТ бФФФФ(3Р-Р7) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhereд _(дŒС СУУaУУtФФФФ is white noise at timeУУ tФФ; С СFУУУУkФФФФ, УУkФФ = 1, . . .УУ pФФ are the autoregressive parameters. The model is denoted byУУ ARФФ(УУpФФ) since the order of the model isУУ pФФ. С СBy use of regression analysis the estimates of the parameters can be found. Because of common trends the exogenous variables (УУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б,УУ XУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р2ФФб cмˆ4 PŽТ б, . . .УУ XУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-РУУpФФФФб cмˆ4 PŽТ б) are usually strongly correlated. Hence the parameter estimates will be correlated. Furthermore, significance tests of the estimates are somewhat difficult to perform. С СAnother possibility is to compute the empirical autocorrelation coefficients and then use the YuleР-РWalker equations to estimate the parameters [FУУУУkФФФФ]. This procedure can be performed when the time series [УУXУУtФФФФ] are а H аstationary. If, on the other hand, the time series are non stationary, the series can often be transformed to stationarity e.g., by differencing the series. The estimation procedure is given in Annex A, РSР A.1. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС3.4С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУAutoregressive integrated moving average (ARIMA) modelsЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СAn extention of the class of autoregressive models which include the moving average models is called autoregressive moving average models (ARMA models). A moving average model of orderУУ qФФ is given by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СXƒб cмˆ4 PŽТ бУУtФФб cмˆ4 PŽТ бФФ =УУ aУУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ Р-Р qУУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бУУФФaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б Р-Р qУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бУУФФaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р2ФФб cмˆ4 PŽТ б . . . Р-Р qУУУУб cмˆ4 PŽТ бqб cмˆ4 PŽТ бФФaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-РУУqСHBА"FСƒб cмˆ4 PŽТ бФФФФ(3Р-Р8) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУaУУtФФФФ is white noise at timeУУ tФФ; аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС  С[qУУУУkФФФФ] are the moving average parametersйE moving average parametersб cмˆ4 PŽТ бEй. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СAssuming that the white noise term in the autoregressive models in РSР 3.3 is described by a moving average model, one obtains the soР-Рcalled ARMA (УУpФФ,УУ qФФ) model: а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СXƒб cмˆ4 PŽТ бУУtФФб cмˆ4 PŽТ бФФ = FУУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бУУФФXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б + Fб cмˆ4 PŽТ бУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ бУУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р2ФФб cмˆ4 PŽТ б + . . . + Fб cмˆ4 PŽТ бУУУУpФФб cмˆ4 PŽТ бXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-РУУpФФФФб cмˆ4 PŽТ б +УУ aУУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ Р-Р qУУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бУУФФaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б Р-Р qУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бУУФФaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р2ФФб cмˆ4 PŽТ б . . . Р-Р qУУУУб cмˆ4 PŽТ бqб cмˆ4 PŽТ бФФaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-РУУqСHpHСƒб cмˆ4 PŽТ бФФФФ(3Р-Р 9) а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СThe ARMA model describes a stationary time series. If the time series is nonР-Рstationary, it is necessary to difference the series. This is done as follow: С СLetУУ YУУtФФФФ be the time series andУУ BФФ the backwards shift operator, then аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8"СXƒУУtФФФФ = (1 Р-РУУ BФФ)УУУУб cмˆ4 PŽТ бdб cмˆ4 PŽТ бФФYУУtСH1А"EСƒФФФФ(3Р-Р10) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУdФФ is the number of differences to have stationarity. а H аС СThe new model ARIMA (УУp, d, qФФ) is found by inserting equation (3Р-Р10) into equation (3Р-Р9). а H аС СThe method for analyzing such time series was developed by G. E. P. Box and G. M. Jenkins [3]. To analyze and forecast such time series it is usually necessary to use a time series program package. а H аС СAs indicated in Figure 1/E.507 a tentative model is identified. This is carried out by determination of necessary transformations and number of autoregressive and moving average parameters. The identification is based on the structure of the autocorrelations and partial autocorrelations. а H аС СThe next step as indicated in Figure 1/E.507 is the estimation procedure. The maximum likelihood estimates are used. Unfortunately, it is difficult to find these estimates because of the necessity to solve a nonlinear system of equations. For practical purposes, a computer program is necessary for these calculations. The forecasting model is based on equation (3Р-Р9) and the process of making forecastsУУ lФФ time units ahead is shown in РSР A.2. а H аС СThe forecasting models described so far are univariate forecasting models. It is also possible to introduce explanatory variables. In this case the system will be described by a transfer function model. The methods for analyzing the time series in a transfer function model are rather similar to the methods described above. а H аС СDetailed descriptions of ARIMA models are given in [1], [2], [3], [5], [11], [15] and [17]. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС3.5С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУState space models with Kalman FilteringЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СState space models are a way to represent discreteР-Рtime process by means of difference equations. The state space modelling approach allows the conversion of any general linear model into a form suitable for recursive estimation and forecasting. A more detailed description of ARIMA state space models can be found in [1]. а H аС СFor a stochastic process such a representation may be of the following form: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8 СXƒУУtФФ+1ФФ = FУУXУУtФФФФ +УУ ZУУtФФФФ + wУУУУtСH4А"EСƒФФФФ(3Р-Р11) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаand аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8#СYƒУУtФФ = HXУУtФФ + nУУtСH0А"EСƒФФ(3Р-Р12) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУXУУtФФФФ is an sР-Рvector of state variables in periodУУ tФФ, С СУУZУУtФФФФ is an sР-Рvector of deterministic events, С СF is anУУ sФФРxРУУsФФ transition matrix that may, in general, depend onУУ tФФ, С СwУУУУtФФФФ is an sР-Рvector of random modelling errors, С СУУYУУtФФФФ is a dР-Рvector of measurements in periodУУ tФФ, С СУУHФФ is aУУ dФФРxРУУsФФ matrix called the observation matrix, and С СnУУУУtФФФФ is a dР-Рvector of measurement errors. а H аС СBoth wУУУУtФФФФ in equation (3Р-Р11) and nУУУУtФФФФ in equation (3Р-Р12) are additive random sequences with known statistics. The expected value of each sequence is the zero vector and wУУУУtФФФФ and nУУУУtФФФФ satisfy the conditions: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СE ƒФФeq \b\bc\[(wУУУУtФФФФw\s(УУT,jФФ)) =УУ QУУtФФФФ dУУУУtjФФФФ for allУУ tФФ,УУ jФФ,СHDА"EС(3ƒР-Р13) УУС СС pССШ8СE ƒФФeq \b\bc\[(nУУУУtФФФФn\s(УУT,jФФ)) =УУ RУУtФФФФ dУУУУtjФФФФ for allУУ tФФ,УУ jФФ, аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУQУУtФФФФ andУУ RУУtФФФФ are nonnegative definite matrices,УУб cмˆ4 PŽТ б2ж†а H ааа2)б cмˆ4 PŽТ бФФA matrix A is nonnegative definite, if and only if, for all vectorsУУ z, zУУб cмˆ4 PŽТ бTб cмˆ4 PŽТ бФФAzФФ Р Р 0. ж)ФФб cмˆ4 PŽТ б and С СdУУУУtjФФФФ is the Kronecker delta. а H аУУQУУtФФФФ is the covariance matrix of the modelling errors andУУ RУУtФФФФ is the covariance matrix of the measurement errors; the wУУУУtФФФФ and the nУУУУtФФФФ are assumed to be uncorrelated and are referred to as white noise. In other words: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СE ƒФФeq \b\bc\[(nУУУУtФФФФ w\s(УУT,jФФ)) = 0 for allУУ tФФ,УУ jФФ,СHAА"EС(3ƒР-Р14) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаand аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СE ƒФФeq \b\bc\[(nУУУУtФФ XФФ\s(УУT,0ФФ)) = 0 for allУУ tФФ.СH@А"EС(3ƒР-Р15) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаUnder the assumptions formulated above, determineУУ XУУt,tФФФФ such that: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сeq ƒУУEФФ \b\bc\[((УУXУУб cмˆ4 PŽТ бt,tб cмˆ4 PŽТ бФФ Љ XУУб cмˆ4 PŽТ бtФФФФб cмˆ4 PŽТ б)б cмˆ4 PŽТ бУУУУTФФб cмˆ4 PŽТ бФФ(УУXУУб cмˆ4 PŽТ бt,tб cмˆ4 PŽТ бФФ Љ XУУб cмˆ4 PŽТ бtФФФФб cмˆ4 PŽТ б)) = minimum,СHEА"EС(3ƒР-Р16) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУXУУt,tФФФФ is an estimate of the state vector at timeУУ tФФ, and С СУУXУУtФФФФ is the vector of true state variables. а H аС СThe Kalman Filtering technique allows the estimation of state variables recursively for onР-Рline applications. This is done in the following manner. Assuming that there is no explanatory variableУУ ZУУtФФФФ, once a new data point becomes available it is used to update the model: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8СXƒУУt,tФФ = XУУб cмˆ4 PŽТ бt,tР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б + KУУtФФ(YУУtФФ Р-Р HXУУб cмˆ4 PŽТ бt,tР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б)СH=А"EС(3ƒР-Р17) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУKУУtФФФФ is the Kalman Gain matrix that can be computed recursively [18]. а H аС СIntuitively, the gain matrix determines how much relative weight will be given to the last observed forecast error to correct it. To create a kР-Рstep ahead projection the following formula is used: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8#СXƒб cмˆ4 PŽТ бУУtФФ+УУk,tб cмˆ4 PŽТ бФФФФ = Fб cмˆ4 PŽТ бУУУУkФФб cмˆ4 PŽТ бXУУt,tСH2А"EСƒФФФФ(3Р-Р18) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУk,tФФФФб cмˆ4 PŽТ б is an estimate ofУУ XУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУkФФФФб cмˆ4 PŽТ б given observationsУУ YФФУУ1ФФ,УУ YФФУУ2ФФ, . . .,УУ YУУtФФФФ. а H аС СEquations (3Р-Р17) and (3Р-Р18) show that the Kalman Filtering technique leads to a convenient forecasting procedure that is recursive in nature and provides an unbiased, minimum variance estimate of the discrete time process of interest. С СFor further studies see [4], [5], [16], [18], [19] and [22]. С СThe Kalman Filtering works well when the data under examination are seasonal. The seasonal traffic load data can be represented by a periodic а H аtime series. In this way, a seasonal Kalman Filter can be obtained by superimposing a linear growth model with a seasonal model. For further discussion of seasonal Kalman Filter techniques see [6] and [20].д .,дŒаЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС3.6С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУRegression modelsЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СThe equations (3Р-Р1) and (3Р-Р2) are typical regression models. In the equations the traffic,УУ YУУtФФФФ, is the dependent (or explanatory) variable, while timeУУ tФФ is the independent variable. а H аС СA regression model describes a linear relation between the dependent and the independent variables. Given certain assumptions ordinary least squares (OLS) can be used to estimate the parameters. а H аС СA model with several independent variables is called a multiple regression model. The model is given by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СYƒУУtФФФФ = РРУУ0ФФ + РРУУ1ФФУУXФФУУ1УУtФФФФ + РРУУ2ФФУУXФФУУ2УУtФФФФ + . . . + РРУУУУkФФXУУktФФФФ +УУ uУУtСHBА"EСƒФФФФ(3Р-Р19) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУYУУtФФФФ is the traffic at timeУУ tФФ, С СРРУУУУiФФФФ,УУ iФФ = 0, 1, . . .,УУ kФФ are the parameters, а H аС СУУXУУitФФФФ,УУ iУУeФФФФ = 1, 2, . . .,УУ kФФ is the value of the independent variables at timeУУ tФФ, С СУУuУУtФФФФ is the error term at timeУУ tФФ. а H аС СIndependent or explanatory variables which can be used in the regression model are, for instance, tariffs, exports, imports, degree of automation. Other explanatory variables are given in РSР 2 Р"РBase data for forecastingР"Р in Recommendation E.506. а H аС СDetailed descriptions of regression models are given in [1], [5], [7], [15] and [23]. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС3.7С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУEconometric modelsЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СEconometric models involve equations which relate a variable which we wish to forecast (the dependent or endogenous variable) to a number of socioР-Рeconomic variables (called independent or explanatory variables). The form of the equations should reflect an expected casual relationship between the variables. Given an assumed model form, historical or cross sectional data are used to estimate coefficients in the equation. Assuming the model remains valid over time, estimates of future values of the independent variables can be used to give forecasts of the variables of interest. An example of a typical econometric model is given in Annex C. а H аС СThere is a wide spectrum of possible models and a number of methods of estimating the coefficients (e.g., least squares, varying parameter а H аmethods, nonlinear regression, etc.). In many respects the family of econometric models available is far more flexible than other models. For example, lagged effects can be incorporated, observations weighted, ARIMA residual models subsumed, information from separate sections pooled and parameters allowed to vary in econometric models, to mention a few. а H аС СOne of the major benefits of building an econometric model to be used in forecasting is that the structure or the process that generates the data must be properly identified and appropriate causal paths must be determined. Explicit structure identification makes the source of errors in the forecast easier to identify in econometric models than in other types of models. С СChanges in structures can be detected through the use of econometric models and outliers in the historical data are easily eliminated or their influence properly weighted. Also, changes in the factors affecting the variables in question can easily be incorporated in the forecast generated from an econometric model. а H аС СOften, fairly reliable econometric models may be constructed with less observations than that required for time series models. In the case of pooled regression models, just a few observations for several crossР-Рsections are sufficient to support a model used for predictions. С СHowever, care must be taken in estimating the model to satisfy the underlying assumptions of the techniques which are described in many of the reference works listed at the end of this Recommendation. For example the number of independent variables which can be used is limited by the amount of data available to estimate the model. Also, independent variables which are correlated to one another should be avoided. Sometimes correlation between the variables can be avoided by using differenced or detrended data or by transformation of the variables. For further studies see [8], [12], [13], [14] and [21]. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС‚У У4С  Сб cмˆ4 PŽТ бDiscontinuities in traffic growthЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФ Ф4.1Тh  ТУУExamples of discontinuitiesЦЦ а H аФФС СIt may be difficult to assess in advance the magnitude of a discontinuity. Often the influence of the factors which cause discontinuties is spread over a transitional period, and the discontinuity is not so obvious. Furthermore, discontinuities arising, for example, from the introduction of international subscriber dialling are difficult to identify accurately, because changes in the method of working are usually associated with other changes (e.g. tariff reductions). а H аС СAn illustration of the bearing of discontinuities on traffic growth can be observed in the graph of Figure 4/E.507. а H аС СDiscontinuities representing the doubling Р-Р and even more Р-Р of traffic flow are known. It may also be noted that changes could occur in the growth trend after discontinuities. С СIn shortР-Рterm forecasts it may be desirable to use the trend of the traffic between discontinuities, but for longР-Рterm forecasts it may be desirable to use a trend estimate which is based on longР-Рterm observations, including previous discontinuities. а H аС СIn addition to random fluctuations due to unpredictable traffic surges, faults, etc., traffic measurements are also subject to systematic fluctuations, due to daily or weekly traffic flow cycles, influence of time differences, etc. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС4.2С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУIntroduction of explanatory variablesЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС  СIdentification of explanatory variablesйA explanatory variablesб cмˆ4 PŽТ бAй for an econometric model is probably the most difficult aspect of econometric model building. The explanatory variables used in an econometric model identify the main sources of influence on the variable one is concerned with. A list of explanatory variables is given in Recommendation E.506, РSР 2. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬа‚Ср KСб cмˆ4 PŽТ бFigure 4/E.507 Љ CCITT 34721 б cмˆ4 PŽТ б С СEconomic theory is the starting point for variable selection. More specifically, demand theory provides the basic framework for building the general model. However, the description of the structure or the process generating the data often dictate what variables enter the set of explanatory variables. For instance, technological relationships may need to be incorporated in the model in order to appropriately define the structure. а H аС СAlthough there are some criteria used in selecting explanatory variables [e.g., eq \x\to(УУR)ФФУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ, DurbinР-РWatson (DР-РW) statistic, root mean square error (RMSE), exР-Рpost forecast performance, explained in the references], statistical problems and/or availability of data (either historical or forecasted) limit the set of potential explanatory variables and one often has to revert to proxy variables. Unlike pure statistical models, econometric models admit explanatory variables, not on the basis of statistical criteria alone but, also, on the premise that causality is, indeed, present. С СA completely specified econometric model will capture turning points. Discontinuities in the dependent variable will not be present unless the parameters of the model change drastically in a very short time period. Discontinuities in the growth of telephone traffic are indications that the underlying market or technological structure have undergone large changes. а H аС СSustained changes in the growth of telephone demand can either be captured through varying parameter regression or through the introduction of a variable that appears to explain the discontinuity (e.g., the introduction of an advertising variable if advertising is judged to be the cause of the structural change). OnceР-РandР-РforР-Рall, or stepР-Рwise discontinuities, cannot be handled by the introduction of explanatory changes: dummy variables can resolve this problem. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС4.3С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУIntroduction of dummy variablesЦЦ б cмˆ4 PŽТ бФФС  СIn econometric models, qualitative variables are often relevant; to аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаmeasure the impact of qualitative variablesйA qualitative variablesб cмˆ4 PŽТ бAй, dummy variables are used. The dummy variable technique uses the value 1 for the presence of the qualitative attribute that has an impact on the dependent variable and 0 for the absenceд Д-д of the given attribute. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СThus, dummy variablesй; dummy variablesб cмˆ4 PŽТ б;й are appropriate to use in the case where a discontinuity in the dependent variable has taken place. A dummy variable, for example, would take the value of zero during the historical period when calls were operator handled and one for the period for which direct dial service is available. С СDummy variables are often used to capture seasonal effects in the dependent variable or when one needs to eliminate the effect of an outlier on the parameters of a model, such as a large jump in telephone demand due to a postal strike or a sharp decline due to facility outages associated with severe weather conditions. С СIndiscriminate use of dummy variables should be discouraged for two reasons: а H аТа ТТ№ ТС€ С1)СpСdummy variables tend to absorb all the explanatory power during discontinuties, andЦЦ Та ТТ№ ТС€ С2)СpСthey result in a reduction in the degrees of freedom.ЦЦ а HH а‚У У5ТX ТAssessing model specificationФ ФЦЦ 5.1Тh  ТУУGeneralЦЦ а H аФФС СIn this section methods for testing the significance of the parameters and also methods for calculating confidence intervals are presented for some of the forecasting models given in РSР 3. In particular the methods relating to regression analysis and time series analysis will be discussed. С СAll econometric forecasting models presented here are described as regression models. Also the curve fitting models given in РSР 3.1 can be described as regression models. С СAn exponential model given by аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8#СZƒб cмˆ4 PŽТ бУУtФФб cмˆ4 PŽТ б = aeб cмˆ4 PŽТ бУУbtФФб cмˆ4 PŽТ б . uУУtСH1А"FСƒФФ(5Р-Р1) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаmay be transformed to a linear form аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8СlnƒУУ ZУУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ = lnУУ aФФ +УУ btФФ + lnУУ uУУtСH7А"FСƒФФФФ(5Р-Р2) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаor аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8!СYƒУУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ = РРУУб cмˆ4 PŽТ б0б cмˆ4 PŽТ бФФ + РРУУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бУУФФXУУtФФФФ +УУ aУУtСH4А"FСƒФФФФ(5Р-Р3) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere Та ТТ№ ТС€ СУУYУУtФФФФСpС= lnУУ ZУУtФФФФЦЦ Та ТТ№ ТС€ СРРУУ0ФФСpС= lnУУ aФФЦЦ Та ТТ№ ТС€ СРРУУ1ФФСpС= УУbФФЦЦ Та ТТ№ ТС€ СУУXУУtФФФФСpС= УУtФФЦЦ Та ТТ№ ТС€ СУУaУУtФФФФСpС= lnУУ uУУtФФФФ (white noise).ЦЦ а HH ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС5.2С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУAutocorrelationЦЦ а H аб cмˆ4 PŽТ бФФС  СA good forecasting model should lead to small autocorrelated residuals. If the residuals are significantly correlated, the estimated parameters and also the forecasts may be poor. To check whether the errors are correlated, the autocorrelation functionУУ rУУkФФФФ,УУ kФФ = 1, 2, . . . is calculated.УУ rУУkФФФФ is the estimated autocorrelation of residuals at lagУУ kФФ. A way to detect autocorrelation among the residuals is to plot the autocorrelation function and to perform a аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаDurbinР-РWatson test. The DurbinР-РWatson statisticй" DurbinР-РWatson statistic"йб cмˆ4 PŽТ б is: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚б cмˆ4 PŽТ бС СС pССШ8СDƒР-РW = eq \f(\i\su(УУtФФ=2,УУN, ФФ) (УУeУУtФФФФ Р-РУУ eУУtФФР-Р1ФФ)б cмˆ4 PŽТ бУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ б,\i\su(УУtФФ=1,УУN, ФФ)УУ eФФ\s(УУУУtФФУУб cмˆ4 PŽТ бФФ2ФФб cмˆ4 PŽТ б))СHQp&FС(5ƒР-Р4)У УФ Ф аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere Та ТТ№ ТС€ СУУeУУtФФФФСpСis the estimated residual at timeУУ tФФ,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ СУУNФФСpСis the number of observations.ЦЦ а HH а5.3Тh  ТУУTest of significance of the parametersЦЦ а H аФФС СOne way to evaluate the forecasting model is to analyse the impact of different exogenous variables. After estimating the parameters in the regression model, the significance of the parameters has to be tested. а H аС СIn the example of an econometric model in Annex C, the estimated values of the parameters are given. Below these values the estimated standard deviation is given in parentheses. As a rule of thumb, the parameters are considered as significant if the absolute value of the estimates exceeds twice the estimated standard deviation. A more accurate way of testing the significance of the parameters is to take into account the distributions of their estimators. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС  СThe multiple correlation coefficientй( multiple correlation coefficient(йб cмˆ4 PŽТ б (or coefficient of determinationб cмˆ4 PŽТ бй$ coefficient of determination$йб cмˆ4 PŽТ б) may be used as a criterion for the fitting of the equation. С  СThe multiple correlation coefficient,УУ RФФУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ, is given by: а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚б cмˆ4 PŽТ бС СС pССШ8Сeq ƒУУRФФУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ = \f(\i\su(УУiФФ=1,УУN, ФФ)(\o(\s\up4(^),УУYб cмˆ4 PŽТ бjб cмˆ4 PŽТ бФФ) Р-Р \x\to(УУYФФ))УУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ,\i\su(УУiФФ=1,УУN, ФФ)(УУYУУб cмˆ4 PŽТ бiб cмˆ4 PŽТ бФФФФ Р-Р \x\to(УУY)ФФ)УУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ)УУСШ8&СƒФФ(5Р-Р5) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СIf the multiple correlation coefficient is close to 1 the fitting is satisfactory. However, a highУУ RФФУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ does not imply an accurate forecast. а H аС СIn time series analysis, the discussion of the model is carried out in another way. As pointed out in РSР 3.4, the number of autoregressive and moving average parameters in an ARIMA model is determined by an identification procedure based on the structure of the autocorrelation and partial autocorrelation function. С СThe estimation of the parameters and their standard deviations is performed by an iterative nonlinear estimation procedure. Hence, by using a time series analysis computer program, the estimates of the parameters can be evaluated by studying the estimated standard deviations in the same way as in regression analysis. С СAn overall test of the fitting is based on the statistic аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СQƒб cмˆ4 PŽТ бУУNФФР-РУУdФФФФб cмˆ4 PŽТ б = eq \i\su(УУiФФ=1,УУN, ФФ)УУ rУУб cмˆ4 PŽТ бiФФФФУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ б СH:А"FС(5ƒР-Р6) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhereУУ rУУiФФФФ is the estimated autocorrelation at lagУУ iФФ andУУ dФФ is the number of parameters in the model. When the model is adequate,УУ QУУб cмˆ4 PŽТ бNФФР-РУУdФФФФб cмˆ4 PŽТ б is approximately chiР-Рsquare distributed withУУ N Р-Р dФФ degrees of freedom. To test the fitting, the valueУУ QУУб cмˆ4 PŽТ бNФФР-РУУdФФФФб cмˆ4 PŽТ б can be compared with fractiles of the chiР-Рsquare distribution. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС5.4С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУValidity of exogenous variablesЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СEconometric forecasting models are based on a set of exogenous variables which explain the development of the endogenous variable (the traffic demand). To make forecasts of the traffic demand, it is necessary to make forecasts of each of the exogenous variables. It is very important to point out that an exogenous variable should not be included in the forecasting model if the prediction of the variable is less confident than the prediction of the traffic demand. С СSuppose that the exact development of the exogenous variable is known which, for example, is the case for the simple models where time is the explanatory variables. If the model fitting is good and the white noise is normally distributed with expectation equal to zero, it is possible to calculate confidence limits for the forecasts. This is easily done by a computer program. а H аС СOn the other hand, the values of most of the explanatory variables cannot be predicted exactly. The confidence of the prediction will then decrease with the number of periods. Hence, the explanatory variables will cause the confidence interval of the forecasts to increase with the number of the forecast periods. In these situations it is difficult to calculate a confidence interval around the forecasted values. а H аС СIf the traffic demand can be described by an autoregressive moving average model, no explanatory variables are included in the model. Hence, if there are no explanatory variable in the model, the confidence limits of the forecasting values can be calculated. This is done by a time series analysis program package. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС5.5С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУConfidence intervalsЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СConfidence intervals, in the context of forecasts, refer to statistical constructs of forecast bounds or limits of prediction. Because statistical models have errors associated with them, parameter estimates have some variability associated with their values. In other words, even if one has identified the correct forecasting model, the influence of endogenous factors will cause errors in the parameter estimates and the forecast. Confidence intervals take into account the uncertainty associated with the parameter estimates. а H аС СIn causal models, another source of uncertainty in the forecast of the series under study are the predictions of the explanatory variables. This type of uncertainty cannot be handled by confidence intervals and is usually ignored, even though it may be more significant than the uncertainty associated with coefficient estimates. Also, uncertainty due to possible outside shocks is not reflected in the confidence intervals.д Д-дŒС СFor a linear, static regression model, the confidence interval of the forecast depends on the reliability of the regression coefficients, the size of the residual variance, and the values of the explanatory variables. The 95% confidence interval for a forecasted valueУУ YУУб cмˆ4 PŽТ бNФФ+1ФФб cмˆ4 PŽТ б is given by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СƒФФeq \o(\s\up4(^),УУYФФ)УУУУNФФФФ(1) Р-Р 2eq \o(\s\up4(^),s)УУ YУУNб cмˆ4 PŽТ бФФ+1УУФФб cмˆ4 PŽТ б ФФeq \o(\s\up4(^),УУYФФ)УУУУNФФФФ(1) + 2eq \o(\s\up4(^),s)СШ$8'С(5ƒР-Р7) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhereУУ ФФeq \o(\s\up4(^),УУYФФ)УУУУNФФФФ(1) is the forecast one step ahead and sР;Р is the standard error of the forecast. а H аС СThis says that we expect, with a 95% probability, that the actual value of the series at timeУУ NФФ + 1 will fall within the limits given by the а H аconfidence interval, assuming that there are no errors associated with the forecast of the explanatory variables. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС‚У У6С  Сб cмˆ4 PŽТ бComparison of alternative forecasting modelsЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФ Ф6.1Тh  ТУУDiagnostic check Р-Р Model evaluationЦЦ а H аФФС СTests and diagnostic checks are important elements in the model building procedure. The quality of the model is characterized by the residuals. Good forecasting models should lead to small autocorrelated residuals, the variance of the residuals should not decrease or increase and the expectation of the residuals should be zero or close to zero. The precision of the forecast is affected by the size of the residuals which should be small. С СIn addition the confidence limits of the parameter estimates and the forecasts should be relatively small. And in the same way, the mean square error should be small compared with results from other models. 6.2Тh  ТУУForecasts of levels versus forecasts of changesЦЦ а H аФФС СMany econometric models are estimated using levels of the dependent and independent variables. Since economic variables move together over time, high coefficients of determination are obtained. The collinearity among the levels of the explanatory variables does not present a problem when a model is used for forecasting purposes alone, given that the collinearity pattern in the past continues to exist in the future. However, when one attempts to measure structural coefficients (e.g., price and income elasticities) the collinearity of the explanatory variables (known as multicollinearity) renders the results of the estimated coefficients unreliable. а H аС СTo avoid the multicollinearity problem and generate benchmark coefficient estimates and forecasts, one may use changes of the variables (first difference or first log difference which is equivalent to a percent change) to estimate a model and forecast from that model. Using changes of variables to estimate a model tends to remove the effect of multicollinearity and produce more reliable coefficient estimates by removing the common effect of economic influences on the explanatory variables. а H аС СBy generating forecasts through levels of and changes in the explanatory variables, one may be able to produce a better forecast through a reconciliation process. That is, the models are adjusted so that the two sets of forecasts give equivalent results. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС6.3С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУExР-Рpost forecastingЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаФФб cмˆ4 PŽТ бС СExР-Рpost forecasting is the generation of a forecast from a model estimated over a subР-Рsample of the data beginning with the first observation and ending several periods prior to the last observation. In exР-Рpost forecasting, actual values of the explanatory variables are used to generate the forecast. Also, if forecasted values of the explanatory variables are used to produce an exР-Рpost forecast, one can then measure the error associated with incorrectly forecasted explanatory variables. С СThe purpose of exР-Рpost forecasting is to evaluate the forecasting performance of the model by comparing the forecasted values with the actuals of the period after the end of the subР-Рsample to the last observation. With exР-Рpost forecasting, one is able to assess forecast accuracy in terms of: а Hр аТа ТТ№ ТС€ С1)СpСpercent deviations of forecasted values from actual values,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ С2)СpСturning point performance,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ С3)СpСsystematic behaviour of deviations.ЦЦ а H аС СDeviations of forecasted values from actual values give a general idea of the accuracy of the model. Systematic drifts in deviations may provide information for either reР-Рspecifying the model or adjusting the forecast to account for the drift in deviations. Of equal importance in evaluating forecast accuracy is turning point performance, that is, how well the model is able а H аto forecast changes in the movement of the dependent variable. More criteria for evaluating forecast accuracy are discussed below. 6.4Тh  ТУУForecast performance criteriaЦЦ ФФС СA model might fit the historical data very well. However, when the forecasts are compared with future data that are not used for estimation of parameters, the fit might not be so good. Hence comparison of forecasts with actual observations may give additional information about the quality of the model. Suppose we have the time series,УУ YФФУУ1ФФ,УУ YФФУУ2ФФ, . . . .,УУ YУУNФФФФ,УУ YУУNФФ+1ФФ, . . . .,УУ YУУNФФ+УУMФФФФ. а H аС СTheУУ MФФ last observations are removed from the time series and the model building procedure. The oneР-РstepР-Рahead forecasting error is given by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СeƒУУNФФ+УУtФФФФ =УУ YУУNФФ+УУtФФФФ Р-РУУ ФФeq \o(\s\up4(^),УУYФФ)УУУУNФФ+УУtФФР-Р1ФФ(1) УУtФФ = 1, 2, . . . ,УУ MСHQp&GСƒФФ(6Р-Р1) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С Сeq \o(\s\up4(^),УУYФФ)УУУУNФФ+УУtФФР-Р1ФФ(1) is the oneР-РstepР-Рahead forecast. УУС Сб cмˆ4 PŽТ бMean error ФФС СThe mean error, ME, is defined by аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚б cмˆ4 PŽТ бС СС pССШ8СME = eq \f(1,ƒУУMФФ) \i\su(УУtФФ=1,УУM, ФФ)УУeУУNФФ+УУtФФФФ СH=А"FС(6ƒР-Р2) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СME is a criterium for forecast bias. Since the expectation of the residuals should be zero, a large deviation from zero indicates bias in the forecasts. УУС Сб cмˆ4 PŽТ бMean percent error ФФС СThe mean percent error, MPE, is defined by аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚б cмˆ4 PŽТ бС СС pССШ8СMPE = eq \f(100,ƒУУMФФ) \i\su(УУtФФ=1,УУM, ФФ) \f(УУ eУУnФФ+УУtФФФФ,УУ YУУNФФ+УУtФФФФ) СHFА"FС(6ƒР-Р3) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СThis statistic also indicates possible bias in the forecasts. The criterium measures percentage deviation in the bias. It is not recommended to use MPE when the observations are small.УУ С Сб cмˆ4 PŽТ бRoot mean square error ФФС СThe root mean square error, RMSE, of the forecast is defined as аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚б cмˆ4 PŽТ бС СС pССШ8СRMSE = eq \b\bc\[(\f(1,ƒУУMФФ) \i\su(УУtФФ=1,УУM, ФФ)УУeФФ\s(2,УУNФФ+УУtФФ))\s\up12(УУб cмˆ4 PŽТ б1/2б cмˆ4 PŽТ бФФ)СHQp&FС(6ƒР-Р4) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СRMSE is the most commonly used measure for forecasting precision. УУС Сб cмˆ4 PŽТ бMean absolute error ФФС СThe mean absolute error, MAE, is given by аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚б cмˆ4 PŽТ бС СС pССШ8СMAE = eq \f(1,ƒУУMФФ) \i\su(УУtФФ=1,УУM, ФФ) \x\le\ri(УУeУУNФФ+УУtФФФФ)СHDА"FС(6ƒР-Р5) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаУУС  Сб cмˆ4 PŽТ бTheil's inequality coefficient ФФС  СTheil's inequality coefficient is defined as follows: а Hа ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУб cмˆ4 PŽТ бС СС pССШ8СUƒФФ = eq \b\bc\[(\i\su(УУtФФ=1,УУM, ФФ) \f(УУeФФ\s(2,УУNФФ+УУtФФ),УУYФФ\s(2,УУNФФ+УУtФФ)))\s\up20(УУб cмˆ4 PŽТ б1/2б cмˆ4 PŽТ бФФ)СHVШ(JС(ƒ6Р-Р6) а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СTheil'sУУ UФФ is preferred as a measure of forecast accuracy because the error between forecasted and actual values can be broken down to errors due to: Та ТТ№ ТС€ С1)СpСcentral tendency,ЦЦ а H№ аТа ТТ№ ТС€ С2)СpСunequal variation between predicted and realized changes, andЦЦ Та ТТ№ ТС€ С3)СpСincomplete covariation of predicted and actual changes.ЦЦ а H аС СThis decomposition of prediction errors can be used to adjust the model so that the accuracy of the model can be improved. С СAnother quality that a forecasting model must possess is ability to capture turning points. That is, a forecast must be able to change direction in the same time period that the actual series under study changes direction. If a model is estimated over a long period of time which contains several turning points, exР-Рpost forecast analysis can generally detect a model's inability to trace closely actuals that display turning points. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС‚У У7С  Сб cмˆ4 PŽТ бChoice of forecasting modelЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФ Ф7.1Тh  ТУУForecasting performanceЦЦ ФФС СAlthough the choice of a forecasting model is usually guided by its forecasting performance, other considerations must receive attention. Thus, the length of the forecast period, the functional form, and the forecast accuracy of the explanatory variables of an econometric model must be considered. а H аС СThe length of the forecast period affects the decision to use one type of a model versus another, along with historical data limitations and the purpose of the forecasting model. For instance, ARIMA models may be appropriate forecasting models for shortР-Рterm forecasts when stability is not an issue, when sufficient historical data are available, and when causality is not of interest. Also, when the structure that generates the data is difficult to identify, one has no choice but to use a forecasting model which is based on historical data of the variable of interest. а H аС СThe functional form of the model must also be considered in a forecasting model. While it is true that a more complex model may reduce the model specification error, it is also true that it will, in general, considerably increase the effect of data errors. The model form should be chosen to recognize the tradeР-Рoff between these sources of error. а H аС СAvailability of forecasts for explanatory variables and their reliability record is another issue affecting the choice of a forecasting model. A superior model using explanatory variables which may not be forecasted accurately can be inferior to an average model whose explanatory variables are forecasted accurately. а H аС СWhen market stability is an issue, econometric models which can handle structural changes should be used to forecast. When causality matters, simple models or ARIMA models cannot be used as forecasting tools. Nor can they be used when insufficient historical data exist. Finally, when the purpose of the model is to forecast the effects associated with changes in the factors that influence the variable in question, time series models may not be appropriate (with the exception, of course, of transfer function and multiple time series models). аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС7.2С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУLength of forecast periodЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СFor normal extensions of switching equipment and additions of circuits, a forecast period of about six years is necessary. However, a longer forecast period may be necessary for the planning of new cables or other transmission media or for major plant installations. Estimates in the long term would necessarily be less accurate than shortР-Рterm forecasts but that would be acceptable. а H аС СIn forecasting with a statistical model, the length of the forecast period is entirely determined by: Та ТТ№ ТС€ Сa)СpСthe historical data available,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ Сb)СpСthe purpose or use of the forecast,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ Сc)СpСthe market structure that generates the data,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ Сd)СpСthe forecasting model used,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ Сe)СpСthe frequency of the data.ЦЦ а H аС СThe historical data available depends upon the period over which it has been collected and the frequency of collection (or the length of the period over which data is aggregated). A small historical data base can only support a short prediction interval. For example, with 10 or 20 observations a model can be used to forecast 4Р-Р5 periods past the sample (i.e. into the future). On the other hand, with 150Р-Р200 observations, potentially reliable forecasts can be obtained for 30 to 50 periods past the sample Р-Р other things being equal. а H аС СCertainly, the purpose of the forecast affects the number of predicted periods. Long range facility planning requires forecasts extending 15Р-Р20 or more years into the future. Rate change evaluations may only require forecasts for 2Р-Р3 years. Alteration of routing arrangements could only require forecasts extending a few months past the sample. С СStability of a market, or lack thereof, also affect the length of the forecast period. With a stable market structure one could conceivably extend the forecast period to equal the historical period. However, a volatile market does not afford the same luxury to the forecaster; the forecast period can only consist of a few periods into the future. а H аС СThe forecasting models used to generate forecasts do, by their nature, influence the decision on how far into the future one can reasonably forecast. Structural models tend to perform better than other models in the long run, while for shortР-Рrun predictions all models seem to perform equally well. С СIt should be noted that while the purpose of the forecast and the forecasting model affect the length of the forecast, the number of periods to а H аbe forecasted play a crucial role in the choice of the forecasting model and the use to which a forecast is put. ‚Ср VСб cмˆ4 PŽТ бANNEX A Ср MСб cмˆ4 PŽТ б(to Recommendation E.507) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр GСб cмˆ4 PŽТ бУ УDescription of forecasting procedures аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HСб cмˆ4 PŽТ бФ ФA.1С   СУУEstimation ofб cмˆ4 PŽТ б autoregressive parametersЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СThe empirical autocorrelation at lagУУ kФФ is given by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8!Сrƒб cмˆ4 PŽТ бУУkФФб cмˆ4 PŽТ бФФ = eq \f(УУ vУУб cмˆ4 PŽТ бkб cмˆ4 PŽТ бФФФФ,УУvФФУУб cмˆ4 PŽТ б0б cмˆ4 PŽТ бФФ)СH3А"FС(AƒР-Р1) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СvƒУУб cмˆ4 PŽТ бkб cмˆ4 PŽТ бФФФФ = eq \f( 1,УУ NФФ Р-Р 1) УУNФФР-РУУkt ФФ= 1 (УУXУУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ Р-Р \x\to(УУXФФ)) (УУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУkФФФФб cмˆ4 PŽТ б Р-Р \x\to(УУXФФ))СHRш&FС(AƒР-Р2) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаand аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СƒФФeq \x\to(УУXФФ) = eq \f(1,УУNФФ) \i\su(УУtФФ=1,УУN, ) XУУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ СHBА"FС(AƒР-Р3) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаУУNФФ being the total number of observations. а H аС СThe relation between [УУrУУkФФФФ] and the estimates [eq \o(\s\up4(^),F)УУУУkФФФФ] of [FУУУУkФФФФ] is given by the YuleР-РWalker equationsй  YuleР-РWalker equations йб cмˆ4 PŽТ б: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚б cмˆ4 PŽТ бС СС pССШ8Сeq \a\al(ƒУУrФФУУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бФФ = \o(\s\up4(^),F)УУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бФФ + \o(\s\up4(^),F)УУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бУУФФrУУб cмˆ4 PŽТ бФФ1ФФб cмˆ4 PŽТ б + . . . + \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУУУpФФб cмˆ4 PŽТ бrУУб cмˆ4 PŽТ бpФФР-Р1 ,УУФФб cмˆ4 PŽТ бrб cмˆ4 PŽТ бФФУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ б = \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУ1ФФб cмˆ4 PŽТ бУУrФФУУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бФФ + \o(\s\up4(^),F)УУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бУУФФrУУб cмˆ4 PŽТ бФФ2ФФб cмˆ4 PŽТ б . . . \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУУУpФФб cмˆ4 PŽТ бrУУб cмˆ4 PŽТ бpФФР-Р2,У УФФб cмˆ4 PŽТ б.,.,.,Ф ФУУrУУб cмˆ4 PŽТ бpб cмˆ4 PŽТ бФФФФ = \o(\s\up4(^),F)УУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бУУФФrУУб cмˆ4 PŽТ бpФФР-Р1 + ФФб cмˆ4 PŽТ б\o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ бУУrУУб cмˆ4 PŽТ бpФФР-Р2 ФФб cмˆ4 PŽТ б+ . . . + \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУУУpФФб cмˆ4 PŽТ бФФ)СШ8&С(AƒР-Р4) а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СHence the estimators [eq \o(\s\up4(^),F)УУУУkФФФФ] can be found by solving this system of equations. а H аС СFor computations, an alternative to directly solving the equations is the following recursive procedure. Let а H а[eq \o(\s\up4(^),F)УУУУб cмˆ4 PŽТ бkФФ,УУ jФФФФб cмˆ4 PŽТ б]б cмˆ4 PŽТ бУУУУjФФб cмˆ4 PŽТ бФФ be estimators of the parameters at lagУУ jФФ = 1, 2, . . .,УУ kФФ given that the total number of parameters areУУ kФФ. The estimators [eq \o(\s\up4(^),F)УУУУб cмˆ4 PŽТ бkФФ+1,УУ jФФФФб cмˆ4 PŽТ б]б cмˆ4 PŽТ бУУУУjФФб cмˆ4 PŽТ бФФ are then found by а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сeq \o(\s\up4(^),F)ƒб cмˆ4 PŽТ бУУУУkФФ+1,УУ kФФ+1ФФб cмˆ4 PŽТ б = \f(УУrУУб cмˆ4 PŽТ бkФФ+1 ФФб cмˆ4 PŽТ б\i\su(УУjФФ=1,УУk, ) ФФ\o(\s\up4(^),F)УУУУб cмˆ4 PŽТ бkФФ;УУjФФб cмˆ4 PŽТ б rб cмˆ4 PŽТ бУУ kФФ+1Р-РУУj,б cмˆ4 PŽТ бФФФФ1 Р-Р \i\su(УУjФФ=1,УУk, ) ФФ\o(\s\up4(^),F)УУУУб cмˆ4 PŽТ бkФФ;УУjФФб cмˆ4 PŽТ б rб cмˆ4 PŽТ бУУj)ФФб cмˆ4 PŽТ бФФСH6А"FС(AƒР-Р5)д Д-дŒа H аС СС pССШ8Сeq \o(\s\up4(^),F)ƒУУУУб cмˆ4 PŽТ бkФФ+1,УУ jФФФФб cмˆ4 PŽТ б = \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУУУkj ФФб cмˆ4 PŽТ бФФР-Р \o(\s\up4(^),F)УУУУб cмˆ4 PŽТ бkФФ+1,УУ kФФ+1б cмˆ4 PŽТ бФФ \o(\s\up4(^),F)УУб cмˆ4 PŽТ бУУk,kР-РjФФ+1б cмˆ4 PŽТ бФФ УУ jФФ = 1, 2, . . .,УУ kФФ СH@А"FС(AƒР-Р6) а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СDefining eq \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУУУpФФ,УУ jб cмˆ4 PŽТ бФФФФ = \o(\s\up4(^),F)УУб cмˆ4 PŽТ бУУjФФФФб cмˆ4 PŽТ б,УУ jФФ = 1, 2, . . .,УУ pФФ, the forecast of the traffic demand at timeУУ tФФ+1 is expressed by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сeq ƒУУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+1ФФб cмˆ4 PŽТ б = \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУ1ФФб cмˆ4 PŽТ бУУXУУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ + \o(\s\up4(^),F)УУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бУУФФXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б + . . . + \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУУУpФФб cмˆ4 PŽТ бXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-РУУpСШ8&Сƒб cмˆ4 PŽТ бФФФФ(AР-Р7)аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬа Та ТA.2СpСУУForecasting with ARIMA modelsЦЦ а HH аФФС СThe forecastУУ lФФ time units ahead is given by: а Hр ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сeq \a\ac(\o(\s\up4(^),ƒУУXФФ)УУУУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ(УУlФФ) = \o(\s\up4(^),F)УУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бФФ [УУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУlФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б] + \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ б [УУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУlФФР-Р2ФФб cмˆ4 PŽТ б] ,+ . . . + \o(\s\up4(^),F)б cмˆ4 PŽТ бУУУУpФФб cмˆ4 PŽТ бФФ[УУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУlФФР-РУУpб cмˆ4 PŽТ бФФФФ], + [УУaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУlФФФФб cмˆ4 PŽТ б] а H аР-Р \o(\s\up4(^),q)УУб cмˆ4 PŽТ б1б cмˆ4 PŽТ бФФ [УУaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУlФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б],Р-Р \o(\s\up4(^),q)УУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ[УУaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУlФФР-Р2ФФб cмˆ4 PŽТ б] Р-Р . . . Р-Р \o(\s\up4(^),q)УУУУб cмˆ4 PŽТ бqб cмˆ4 PŽТ бФФФФ[УУaУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+УУlФФР-РУУqб cмˆ4 PŽТ бФФФФ])С`x-aС (AР-Р8) а H аwhereС pСeq \o(\s\up4(УУ^ФФ),[УУXФФ)УУУУб cмˆ4 PŽТ бjб cмˆ4 PŽТ бФФФФ]= eq \a\al(\o(\s\up4(УУ^ФФ),УУX)УУб cмˆ4 PŽТ бtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ(УУjФФ Р-РУУtФФ) ifУУ jФФ >УУ t,XУУб cмˆ4 PŽТ бjб cмˆ4 PŽТ бФФФФ ifУУ jФФ РCРУУ t)ФФСpССШ8&С(AƒР-Р9) а H аС С[УУaУУб cмˆ4 PŽТ бjб cмˆ4 PŽТ бФФФФ] = eq \a\al(0 ifУУ jФФ >УУ t ,XУУб cмˆ4 PŽТ бjб cмˆ4 PŽТ бФФФФ Р-РУУ ФФ\o(\s\up4(УУ^ФФ),УУX)УУб cмˆ4 PŽТ бjб cмˆ4 PŽТ бФФФФ ifУУ jФФ РCРУУ tФФ)С pСС8)С(AР-Р10) а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhich means that [УУXУУjФФФФ] is defined as a forecast whenУУ jФФ >УУ tФФ and otherwise as an actual observation and that [УУaУУjФФФФ] is defined as 0 whenУУ jФФ >УУ tФФ since white noise has expectation 0. If the observations are known (УУjФФ РCРУУ tФФ), then [УУaУУjФФФФ] is equal to the residual. ‚Ср VСб cмˆ4 PŽТ бANNEX B Ср MСб cмˆ4 PŽТ б(to Recommendation E.507) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр FСб cмˆ4 PŽТ бУ УKalman Filter for a linear trend model а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФ ФС СTo model telephone traffic, it is assumed that there are no deterministic changes in the demand pattern. This situation can be modelled by setting the deterministic componentУУ ZУУtФФФФ to zero. Then the general state space model is: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8#СXƒУУtФФ+1ФФ = УУXУУtФФФФ + wУУУУtСH1А"FСƒФФФФ(BР-Р1) С СС pССШ8#С YƒУУtФФ = HXУУtФФ + nУУtФФ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУXУУtФФФФСpСis an sР-Рvector of state variables in periodУУ tФФ, С СУУYУУtФФФФСpСis a vector of measurements in yearУУ tФФ, С СjСpСis anУУ sФФРxРУУsФФ transition matrix that may, in general, depend onУУ tФФ, and С СwУУУУtФФФФСpСis an sР-Рvector of random modelling errors, С СnУУУУtФФФФСpСis the measurement error in yearУУ tФФ. а H аС СFor modelling telephone traffic demand, adapt a simple twoР-Рstate, oneР-Рdata variable model defined by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СXƒУУtФФ+1ФФ = eq \b\bc\[(\a(УУxУУtФФ+1ФФ,\o(\s\up4(Р#Р),УУx)УУt+1ФФФФ)) = eq \b\bc\[(\a(1 0,1 1)) eq \b\bc\[(\a(УУxУУtФФ,ФФ\o(\s\up4(Р#Р),УУx)УУtФФФФ)) + eq \b\bc\[(\a(wУУУУtФФФФ,\o(\s\up4(Р#Р),wУУ)УУtФФФФ)) СШp&С(BƒР-Р2) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаand аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8$СyƒУУtФФФФ =УУ xУУtФФФФ + nУУУУtСH0А"FСƒФФФФ(BР-Р3) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУxУУtФФФФСpСis the true load in yearУУ tФФ, С Сeq \o(\s\up4(Р#Р),УУxУУt)ФФФФС X%Сis the true incremental growth in yearУУ tФФ, С СУУyУУtФФФФСpСis the measured load in yearУУ tФФ, С СnУУУУtФФФФСpСis the measurement error in yearУУ tФФ. Thus, in our model аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сj = eq \b\bc\[(\a(1 1,0 1)) , andƒУУ HФФ = 1. СHBА"FС(BƒР-Р4) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаThe oneР-РstepР-Рahead projection is written as follows: а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СXƒб cмˆ4 PŽТ бУУtФФ+1,УУtб cмˆ4 PŽТ бФФФФ = eq \b\bc\[(\a(УУxУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+1.УУt,ФФФФб cмˆ4 PŽТ б\o(\s\up4(Р#Р),УУx)УУ1.tФФФФ)) = eq \b\bc\[(\a(1 1,0 1)) eq \b\bc\[(\a(УУxУУt.t,ФФФФ\o(\s\up4(Р#Р),УУx)УУt.t))ФФФФ = eq \b\bc\[(\a(1 0,1 1)) eq \b\bc\[(\a(УУxУУб cмˆ4 PŽТ бt.tФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б + aУУУУtФФФФ(УУyУУtФФФФ Р-РУУ xУУб cмˆ4 PŽТ бt.tФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б),\o(\s\up4(Р#Р),УУx)УУt.tб cмˆ4 PŽТ бФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б + РРУУУУtФФФФ(УУyУУtФФФФ Р-РУУ xУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ\,УУtФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б))) СH FС(BƒР-Р5) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere С СУУXУУб cмˆ4 PŽТ бtФФ+1,УУtФФФФб cмˆ4 PŽТ б is the projection of the state variable in periodУУ tФФ + 1 given observations through yearУУ tФФ. С СThe aУУУУtФФФФ and РРУУУУtФФФФ coefficients are the Kalman gain matrices in yearУУ tФФ. Rewriting the above equation yields: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СxƒУУt,tФФФФ = (1Р-РaУУУУtФФФФ)УУxУУб cмˆ4 PŽТ бt,tФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б + aУУУУtФФyУУtСH9А"FСƒФФФФ(BР-Р6) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаand а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сeq \o(\s\up4(ƒР#Р),УУx)УУt,tФФФФ = (1Р-РРРУУУУtФФФФ)eq \o(\s\up4(Р#Р),УУxУУt,t Љ 1)ФФФФ + РРУУУУtФФФФ(УУyУУtФФФФ Р-РУУ xУУб cмˆ4 PŽТ бtФФР-Р1,УУtФФР-Р1ФФб cмˆ4 PŽТ б)СpС(BР-Р7) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СThe Kalman Filter creates a linear trend for each time series being forecast based on the current observation or measurement of traffic demand а H аand the previous year's forecast of that demand. The observation and forecasted traffic load are combined to produce a smoothed load that corresponds to а H аthe level of the process, and a smoothed growth increment. The Kalman gain values aУУУУtФФФФ and РРУУУУtФФФФ can be either fixed or adaptive. In [16] Moreland presents a method for selecting fixed, robust parameters that provide adequate performance independent of system noise, measurement error, and initial conditions. For further details on the proper selection of these parameters see [6], [20] and [22]. ‚Ср VСб cмˆ4 PŽТ бANNEX C Ср MСб cмˆ4 PŽТ б(to Recommendation E.507) Ср JСУ УExample of an econometric modelФ Ф а H аС СTo illustrate the workings of an econometric model, we have chosen the model of United States billed minutes to Brazil. This model was selected among alternative models for three reasons: Та ТТ№ ТС€ Сa)СpСto demonstrate the introduction of explanatory variables,ЦЦ а H аТа ТТ№ ТС€ Сb)СpСto point out difficulties associated with models used for both the estimation of the structure and forecasting purposes, andЦЦ Та ТТ№ ТС€ Сc)СpСto show how transformations may affect the results.ЦЦ а H аС СThe demand of United States billed minutes to Brazil (УУMINФФ) is estimated by a logР-Рlinear equation which includes United States billed messages to а H аBrazil (УУMSGФФ), a real telephone price index (УУRPIФФ), United States personal income in 1972 prices (УУYPФФ72), and real bilateral trade between the United States and Brazil (УУRTRФФ) as explanatory variables. This model is represented as: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сln(ƒУУMINФФ)УУУУtФФФФ = РРУУ0ФФ + РРУУ1ФФ ln(УУMSGФФ)УУУУtФФФФ + РРУУ2ФФ ln(УУRPIФФ)УУУУtФФФФ + РРУУ3ФФ ln(УУYPФФ72)УУУУtФФФФ + РРУУ4ФФ ln(УУRTRФФ)УУУУtФФФФ +УУ uУУtС8)СФФФФ(CР-Р1) а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhereУУ uУУtФФФФ is the error term of the regression and where, РРУУ1ФФ > 0, РРУУ2ФФ < 0, РРУУ3ФФ > 0 and РРУУ4ФФ > 0 are expected values. а H аС СUsing ridge regression to deal with severe multicollinearity problems, we estimate the equation over the 1971 : 1 (i.e. first quarter of 1971) to 1979 : 4 interval and obtain the following results: а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сln(ƒУУMINФФ)УУУУtФФФФ = Р-Р3.489 + (0.619) ln(УУMSGФФ)УУУУtФФФФ Р-Р (0.447) ln(УУRPIФФ)УУУУtФФФФ + (1.166) ln(УУYPФФ72)УУУУtФФФФ + (0.281) ln(УУRTRФФ)УУУУtФФФФ а H аС СС pССШ8СIn(ƒУУMINФФ)УУУУtФФФФ = Р-Р3.489 + (0.035) ln(УУMSGФФ)УУУУtФФФФ Р-Р (0.095) ln(УУRPIФФ)УУУУtФФФФ + (0.269) ln(УУYPФФ72)УУУУtФФФФ + (0.084)СШ8&С(CƒР-Р2) УУС СС pССШ8Сeq \x\to(R)ƒФФУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ = 0.985,УУ SERФФ = 0.083,УУ DР-РWФФ = 0.922,УУ kФФ = 0.10СHJ(#FС(CƒР-Р3) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere УУeq \x\to(R)ФФУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ is the adjusted coefficient of determination,УУ SERФФ is the standard error of the regression, DР-РW is the DurbinР-РWatson statistic, andУУ kФФ is the ridge regression constant. The values in parentheses under the equation are the estimated standard deviation of the estimated parameters eq \o(\s\up4(^),РР)УУ1ФФ, eq \o(\s\up4(^),РР)УУ2ФФ, eq \o(\s\up4(^),РР)УУ3ФФ, eq \o(\s\up4(^),РР)УУ4ФФ. а H аС СThe introduction of messages as an explanatory variable in this model was necessitated by the fact that since the midР-Рseventies transmission quality has improved and completion rates have risen while, at the same time, the strong growth in this market has begun to dissipate. Also, the growth rates for some periods could not have been explained by rate activity on either side or real United States personal income. The behaviour of the message variable in the minute equation was able to account for all these factors. а H аС СBecause the model serves a dual purpose Р-Р namely, structure estimation and forecasting Р-Р at least one more variable is introduced than if the model were to be used for forecasting purposes alone. The introduction of additional explanatory variables results in severe multicollinearity and necessitates employing ridge regression which lowers УУeq \x\to(R)ФФУУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ and the DurbinР-РWatson statistic. Consequently, the predictive power of the model is reduced somewhat. С СThe effect of transforming the variables of a model are shown in the exР-Рpost forecast analysis performed on the model of United States billed minutes to Brazil. The deviations using levels of the variables are larger than those of the logarithms of the variables which were used to obtain a better fit (the estimated RMSE for the logР-Рlinear regression model is 0.119 827). The forecast results in level and logarithmic form are shown in Table CР-Р1/E.507. ‚Ср RСб cмˆ4 PŽТ бTABLE CР-Р1/E.507 б cмˆ4 PŽТ бвЦƒР€8(Р!Цв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH€шP џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаааб cмˆ4 PŽТ б Ср TСLogarithms Ср VСLevels а (А ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ€шP (џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бˆа (А аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡б cмˆ4 PŽТ б Ср+ИoСForecast Ср+ИpСActual Ср+ИnС% deviation Ср+ИoСForecast Ср+ИpСActual Ср+ИnС% deviation а ˆА ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ€шP ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡Ср?h„Сб cмˆ4 PŽТ б1980: 1 Ср?h„С 14.858 Ср?h„С 14.938 Ср?h„С Р-Р0.540 а ˆР аСр?р„С 2 836 269 Ср?р„С 3 073 697 Ср?р…С Р-Р 7.725 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡С`?Р!GСб cмˆ4 PŽТ б2 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„С 14.842 Ср?h„С 14.972 Ср?h„С Р-Р0.872 а ˆР аСр?р„С 2 791 250 Ср?р„С 3 180 334 Ср?р…С Р-Р12.234 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ€шP ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС`?Р!GСб cмˆ4 PŽТ б3 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„С 14.916 Ср?h„С 15.111 Ср?h„С Р-Р1.296 а ˆР аСр?р„С 3 005 637 Ср?р„С 3 654 092 Ср?р…С Р-Р17.746 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ€шP ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС`?Р!GСб cмˆ4 PŽТ б4 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„С 14.959 Ср?h„С 15.077 Ср?h„С Р-Р0.778 а ˆР аСр?р„С 3 137 698 Ср?р„С 3 529 016 Ср?р…С Р-Р11.089 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ€шP ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„Сб cмˆ4 PŽТ б1981: 1 С`?Р!AС 15.022 С`?Р!AС 15.102 С`?Р!AС Р-Р0.535 а ˆР аС`?А"@С 3 341 733 С`?А"@С 3 621 735 С`?А"BС Р-Р 7.731 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡С`?Р!GСб cмˆ4 PŽТ б2 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„С 14.971 Ср?h„С 15.141 Ср?h„С Р-Р1.123 а ˆР аСр?р„С 3 175 577 Ср?р„С 3 762 592 Ср?р…С Р-Р15.601 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ€шP ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС`?Р!GСб cмˆ4 PŽТ б3 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„С 15.395 Ср?h„С 15.261 Ср?h„С Р-Р0.879 а ˆР аСр?р„С 4 852 478 Ср?р„С 4 244 178 Ср?р…С 14.333 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ€шP ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС`?Р!GСб cмˆ4 PŽТ б4 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„С 15.405 Ср?h„С 15.302 Ср?h„С Р-Р0.674 а ˆР аСр?р„С 4 901 246 Ср?р„С 4 421 755 Ср?р…С Р-Р10.844 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ€шP ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„Сб cмˆ4 PŽТ б1982: 1 Ср?h„С 15.365 Ср?h„С 15.348 Ср?h„С Р-Р0.110 а ˆР аСр?р„С 4 709 065 Ср?р„С 4 630 238 Ср?р…С Р-Р 1.702 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆА аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‡Р€@ И №8(шиˆР!Цв‡С`?Р!GСб cмˆ4 PŽТ б2 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?h„С 15.326 Ср?h„С 15.386 Ср?h„С Р-Р0.387 а ˆР аСр?р„С 4 528 947 Ср?р„С 4 807 901 Ср?р…С Р-Р 5.802 а ˆА аб cмˆ4 PŽТ бˆа HH ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаУ УС СReferencesФ Ф а H а[1]Тh  ТABRAHAM (A.) and LEDOLTER (J.): Statistical methods for forecastingУУ J. WileyФФ, New York, 1983.ЦЦ а H а[2]Тh  ТANDERSON (O. D.): Time series analysis and forecasting. The BoxР-РJenkins approach.УУ ButterworthФФ, London, 1976.ЦЦ а H а[3]Тh  ТBOX (G. E. P.) and JENKINS (G. M.): Time Series Analysis: Forecasting and Control,УУ HoldenР-РDayФФ, San Francisco, 1976.ЦЦ [4]Тh  ТBROWN (R. G.): Introduction to random signal analysis and Kalman Filtering.УУ John Wiley & SonsФФ, New York, 1983.ЦЦ а H а[5]Тh  ТCCITT: Manual planning data and forecasting methods, Vol. I and II,УУ ITUФФ, Geneva, 1988.ЦЦ а H а[6]Тh  ТCHEMOUIL (P.) and GARNIER (B.): An Adaptive ShortР-РTerm Traffic Forecasting Procedure Using Kalman Filtering.УУ ITC 11ФФ, Tokyo, 1985.ЦЦ а H а[7]Тh  ТDRAPER (N.) and SMITH (H.): Applied Regression Analysis, Second Edition,УУ John Wiley & SonsФФ, New York, 1981.ЦЦ а H а[8]Тh  ТDUTTA (M.): Econometric Methods,УУ SouthР-РWestern Publishing Co.ФФ, Cincinnati, 1975.ЦЦ а H а[9]Тh  ТGARDNER (E. S. Jr.): Exponential smoothing the state of art.УУ Journal of forecastingФФ, 4, pp. 1Р-Р28, 1985.ЦЦ а H а[10]Т№  ТGILCHRIST W.: Statistical forecasting.УУ John Wiley & SonsФФ, New York, 1976.ЦЦ а H а[11]Т№  ТGRANGER (C. W. J.) and NEWBOLD (P.): Forecasting Economic Time Series,УУ Academic PressФФ, New York, 1977.ЦЦ а H а[12]Т№  ТJOHNSTON (J.): Econometric Methods, Second Edition,УУ McGrawР-РHillФФ, New York, 1972.ЦЦ а H а[13]Т№  ТJUDGE (G. G.)УУ et al.ФФ: The Theory and Practice of Econometrics,УУ John Wiley & SonsФФ, New York, 1980.ЦЦ а H а[14]Т№  ТKMENTA (J.): Elements of Econometrics,УУ Macmillan Publishing CompanyФФ, New York, 1971.ЦЦ а H а[15]Т№  ТMAKRIDAKIS (S.), WHEELWRIGHT (S. C.), McGEE (V. .E.): Forecasting methods and applications Second Edition.УУ John Wiley & SonsФФ, New York, 1983.ЦЦ а H а[16]Т№  ТMORELAND (J. P.): A robust sequential projection algorithm for traffic load forecasting.УУ The Bell Technical JournalФФ, Vol. 61, No. 1, 1982.ЦЦ а H а[17]Т№  ТNELSON (C. R.): Applied Time Series Analysis for Managerial Forecasting,УУ HoldenР-РDayФФ, San Francisco, 1973.ЦЦ [18]Т№  ТPACK (C. D.) and WHITAKER (B. A.): Kalman Filter models for network forecasting.УУ The Bell Technical JournalФФ, Vol. 61, No. 1, pp. 1Р-Р9, 1982.ЦЦ а H а[19]Т№  ТSORENSON (H. W.): Kalman filtering techniques. Advances in control systems theory and applications.УУ Academic PressФФ, Vol. 3, pp. 219Р-Р292, 1966.ЦЦ [20]Т№  ТSZELAG (C. R.): A shortР-Рterm forecasting algorithm for trunk demand servicing.УУ The Bell Technical JournalФФ, Vol. 61, No. 1, pp. 67Р-Р96, 1982.ЦЦ а H а[21]Т№  ТTHEIL (H.): Principles of Econometrics,УУ John Wiley & SonsФФ, New York, 1971.ЦЦ а H а[22]Т№  ТTOME (F. M.) and CUNHA (J. A.): Traffic forecasting with a state space model.УУ ITC 11ФФ, Tokyo, 1985.ЦЦ а H а[23]Т№  ТWONNACOTT (T. H.) and WONNACOTT (R. J.): Regression.УУ John Wiley & SonsФФ, New York, 1981.д Д-дЦЦŒС СУ УBibliographyФ Ф PINDYCK (R. S.) and RUBINFELD (D. F.): Econometric Models and Econometric Forecasts,УУ McGrawР-РHillФФ, New York, 1981. SASTRI, (T.): A state space modelling approach for time series forecasting.УУ Management ScienceФФ, Vol. 31, No. 11, pp. 1451Р-Р1470, 1985.