џWPCL ћџ2BJ|xа АH аа АА X агга ХА6p&А6p&Х аеЮ† а Hр аааУ Уб cмˆ4 PŽТ б Fascicle II.3 Р-Р Rec. E.506 Ф ФPAGE1У Уб cмˆ4 PŽТ б ЮееЃ† а HH аааб cмˆ4 PŽТ бPAGE4У Уб cмˆ4 PŽТ б Fascicle II.3 Р-Р Rec. E.506 Ѓеа H№ ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаа X  аб cмˆ4 PŽТ бAll drawings appearing in this Recommendation have been done in Autocad. ‚У УRecommendation E.506 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр(FСб cмˆ4 PŽТ бFORECASTING INTERNATIONAL TRAFFICб cмˆ4 PŽТ бФ ФУУ1ж   а HH ааа1)ФФб cмˆ4 PŽТ бThe old Recommendation E.506 which appeared in theУУ Red BookФФ was split into two Recommendations, revised E.506 and new E.507 and considerable new material was added to both. ж)ФФб cмˆ4 PŽТ бУ У аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ б1Ф ФС СУ УIntroductionФ Ф а H аС СThis Recommendation is the first in a series of three Recommendations that cover international telecommunications forecasting. С СIn the operation and administration of the international telephone network, proper and successful development depends to a large degree upon estimates for the future. Accordingly, for the planning of equipment and circuit provision and of telephone plant investments, it is necessary that Administrations forecast the traffic which the network will carry. In view of the heavy capital investments in the international network, the economic importance of the most reliable forecast is evident. С СThe purpose of this Recommendation is to give guidance on some of the prerequisites for forecasting international telecommunications traffic. Base data, not only traffic and call data but also economic, social and demographic data, are of vital importance for forecasting. These data series may be incomplete; strategies are recommended for dealing with missing data. Different forecasting approaches are presented including direct and composite methods, matrix forecasting, and top down and bottom up procedures. а H аС СRecommendation E.507 provides guidelines for building forecasting models and contains an overview of various forecasting techniques. Recommendation E.508 covers the forecasting of new international telecommunications services. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС‚У У2С  Сб cмˆ4 PŽТ бBase data for forecastingЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФ ФС СAn output of the international traffic forecasting process is the estimated number of circuits required for each period in the forecast horizon. To obtain these values, traffic engineering techniques are applied to forecast Erlangs, a measure of traffic. Figure 1/E.506 outlines two different approaches for determining forecasted Erlangs. а H аС СThe two different strategies for forecasting are the direct strategy and the composite strategy. The first step in either process is to collect raw data. These raw data, perhaps adjusted, will be the base data used to generate the traffic forecasts. Base data may be hourly, daily, monthly, quarterly, or annual. Most Administrations use monthly accounting data for forecasting purposes. С СWith the direct strategy, the traffic carried in Erlangs, or measured usage, for each relation would be regarded as the base data in forecasting traffic growth. These data may be adjusted to account for such occurrences as regeneration (see Recommendation E.500). ‚Ср KСб cмˆ4 PŽТ бFigure 1/E.506 Љ T0200800Љ87 б cмˆ4 PŽТ б а H аС СIn both strategies (direct and composite) it is necessary to convert the carried traffic into offered traffic Erlangs. The conversion formula can be found in Recommendation E.501 for the direct strategy and in this Recommendation for the composite strategy. а H аС СComposite forecasting uses historical international accounting data of monthly paid minute traffic as the base data. The data may be adjusted by a number of factors, either before or after the forecasting process, that are used for converting paid minutes on the basis of the accounting data into busyР-Рhour Erlang forecasts. а H аС СAs seen in Figure 1/E.506, the forecasting process is common to both the direct and composite strategy. However, the actual methods or models used in the process vary. Forecasts can be generated, for example, using traffic matrix methods (see РSР 4), econometric models or autoregressive models (see РSР 3, Recommendation E.507). There are various other data that are input to the forecasting process. Examples of these are explanatory variables, market segmentation information and price elasticities. а H аС СWherever possible, both the direct and composite forecasting strategies should be used and compared. This comparison may reveal irregularities not evident from the use of only one method. Where these are significant, in particular in the case of the busy hour, the causes for the differences should be identified before the resulting forecast is adopted. а H аС СIn econometric modelling especially, explanatory variables are used to forecast international traffic. Some of the most important of these variables are the following: Та ТР-РТ№ Тexports,ЦЦ Та ТР-РТ№ Тimports,ЦЦ Та ТР-РТ№ Тdegree of automation,ЦЦ Та ТР-РТ№ Тquality of service,ЦЦ Та ТР-РТ№ Тtime differences between countries,ЦЦ Та ТР-РТ№ Тtariffs,ЦЦ Та ТР-РТ№ Тconsumer price index, andЦЦ Та ТР-РТ№ Тgross national product.ЦЦ а H аС СOther explanatory variables, such as foreign business travellers and nationals living in other countries, may also be important to consider. It is recommended that data bases for explanatory variables should be as comprehensive as possible to provide more information to the forecasting process. а H аС СForecasts may be based on market segmentation. Base data may be segmented, for example, along regional lines, by business, nonР-Рbusiness, or by type of service. Price elasticities should also be examined, if possible, to quantify the impact of tariffs on the forecasting data. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС‚У У3С  Сб cмˆ4 PŽТ бComposite strategy Р-Р Conversion methodФ ФЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бС СThe monthly paidР-Рminutes traffic is converted to busyР-Рhour Erlangs for dimensioning purposes by the application of a number of traffic related conversion factors for each service category. The conversion is carried out in accordance with the formula: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8$СAƒФФ =УУ MdhФФ/60УУeСH/А"FСƒФФ(3Р-Р1) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere Та ТТ№ ТС€ СУУAФФСpСis the estimated mean traffic in the busy hour,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ СУУMФФСpСis the monthly paidР-Рminutes,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ СУУdФФСpСis dayР-РtoР-Рmonth ratio,ЦЦ Та ТТ№ ТС€ СУУhФФСpСis the busy hourР-РtoР-Рday ratio, andЦЦ Та ТТ№ ТС€ СУУeФФСpСis the efficiency factor.ЦЦ а HH аС СThe formula is described in detail in Annex A. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС‚У У4С  СProcedures forб cмˆ4 PŽТ б traffic matrix forecastingЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФ Ф4.1Тh  ТУУIntroductionЦЦ а H аФФС СTo use traffic matrix or pointР-РtoР-Рpoint forecasts the following procedures may be used: Та ТР-РТ№ ТDirect pointР-РtoР-Рpoint forecasts,ЦЦ Та ТР-РТ№ ТKruithof's method,ЦЦ Та ТР-РТ№ ТExtension of Kruithof's method,ЦЦ Та ТР-РТ№ ТWeighted least squares method.ЦЦ а H аС СIt is also possible to develop a Kalman Filter model for pointР-РtoР-Рpoint traffic taking into account the aggregated forecasts. Tu and Pack describe such a model in [16]. а H аС СThe forecasting procedures can be used to produce forecasts of internal traffic within groups of countries, for example, the Nordic countries. Another application is to produce forecasts for national traffic on various levels. 4.2Тh  ТУУDirect pointР-РtoР-Рpoint forecastsЦЦ а H аФФС СIt is possible to produce better forecasts for accumulated traffic than forecast of traffic on a lower level. а H аС СHence, forecasts of outgoing traffic (row sum) or incoming traffic (column sum) between one country and a group of countries will give a relatively higher precision than the separate forecasts between countries. а H аС СIn this situation it is possible to adjust the individual forecasts by taking into account the aggregated forecasts. С СOn the other hand, if the forecasts of the different elements in the traffic matrix turn out to be as good as the accumulated forecasts, then it is not necessary to adjust the forecasts. а H аС СEvaluation of the relative precision of forecasts may be carried out by comparing the ratios sР;Р(УУXФФ)/УУXФФ whereУУ XФФ is the forecast and eq \o(\s\up4(^),s)(УУXФФ) the estimated forecast error. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС4.3С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУKruithof's methodЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СKruithof's method [11] is well known. The method uses the last known traffic matrix and forecasts of the row and column sum to make forecasts of the traffic matrix. This is carried out by an efficient iteration procedure. а H аС СKruithof's method does not take into account the change over time in the pointР-РtoР-Рpoint traffic. Because Kruithof's method only uses the last known traffic matrix, information on the previous traffic matrices does not contribute to the forecasts. This would be disadvantageous. Especially when the growth of the distinct pointР-РtoР-Рpoint traffic varies. Also when the traffic matrices reflect seasonal data, Kruithof's method may give poor forecasts. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС4.4С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУExtension of Kruithof's methodЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СThe traditional Kruithof's method is a projection of the traffic based on the last known traffic matrix and forecasts of the row and column sums. а H аС СIt is possible to extend Kruithof's method by taking into account not only forecasts of the row and column but also forecasts of pointР-РtoР-Рpoint traffic. Kruithof's method is then used to adjust the pointР-РtoР-Рpoint traffic forecasts to obtain consistency with the forecasts of row and column sums. а H аС СThe extended Kruithof's method is superior to the traditional Kruithof's method and is therefore recommended. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС4.5С   Сб cмˆ4 PŽТ бУУWeighted least squares methodЦЦ а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФФС СWeighted least squares method is again an extension of the last method. Let {УУCУУijФФФФ}, {УУCУУiФФФФ.} and {УУC.УУjФФФФ} be forecasts of pointР-РtoР-Рpoint traffic, row sums and column sums respectively. а H аС СThe extended Kruithof's method assumes that the row and column sums are Р"РtrueР"Р and adjust {УУCУУijФФФФ} to obtain consistency. а H аС СThe weighted least squares method [2] is based on the assumption that both the pointР-РtoР-Рpoint forecasts and the row and column sum forecasts are uncertain. A reasonable way to solve the problem is to give the various forecasts different weights. а H аС СLet the weighted least squares forecasts be {УУDУУijФФФФ}. The square sumУУ QФФ is defined by: а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8СQ = eq \i\su(ƒб cмˆ4 PŽТ бУУij, ,aijФФб cмˆ4 PŽТ б)(CУУijФФ Р-Р DУУijФФ)б cмˆ4 PŽТ бУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ б+eq \i\su(б cмˆ4 PŽТ бУУi,ФФб cмˆ4 PŽТ б , ) bУУiФФ(CУУiФФ. Р-Р DУУiФФ.)б cмˆ4 PŽТ бУУ2ФФб cмˆ4 PŽТ б+eq \i\su(б cмˆ4 PŽТ бУУj,ФФб cмˆ4 PŽТ б , ) cУУjФФ(C.УУjФФ Р-Р D.УУjФФ)б cмˆ4 PŽТ бУУ2СШ"8&СƒФФб cмˆ4 PŽТ б(4Р-Р1) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere {УУaУУijФФФФ}, {УУbУУiФФФФ }, {УУcУУjФФФФ} are chosen constants or weights. С СThe weighted least squares forecast is found by: С СMinУУQФФ(УУDУУijФФФФ) УУС СDУУijФФФФ subject to аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СУУDУУiФФФФ. =УУ ФФeq \i\su(УУб cмˆ4 PŽТ бj,б cмˆ4 PŽТ бФФ , )УУ DУУijФФФФ УУiФФ = 1, 2, . . .СH7А"JСƒСJ(#KС(4Р-Р2) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаand аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СУУD.УУjФФФФ =УУ ФФeq \i\su(УУб cмˆ4 PŽТ бi,б cмˆ4 PŽТ бФФ , )УУ DУУijФФФФ УУjФФ = 1, 2, . . . аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СA natural choice of weights is the inverse of the variance of the forecasts. One way to find an estimate of the standard deviation of the forecasts is to perform exР-Рpost forecasting and then calculate the root mean square error. С СThe properties of this method are analyzed in [14]. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH јP Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаТX  ТТX јТС€  СС€ HС‚У У5С  Сб cмˆ4 PŽТ бTop down and bottom up methodsЦЦ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бФ Ф5.1Тh  ТУУChoice of modelЦЦ а H аФФС СThe object is to produce forecasts for the traffic between countries. For this to be a sensible procedure, it is necessary that the traffic between the countries should not be too small, so that the forecasts may be accurate. A method of this type is usually denoted as Р"Рbottom upР"Р. С СAlternatively, when there is a small amount of traffic between the countries in question, it is better to start out with forecasting the traffic for a larger group of countries. These forecasts are often used as a basis for forecasts for the traffic to each country. This is done by a correction procedure to be described in more detail below. Methods of this type are called Р"Рtop downР"Р. The following comments concern the preference of one method over another. а H аС СLet sУУУУTФФУУб cмˆ4 PŽТ бФФ2ФФб cмˆ4 PŽТ б be the variance of the aggregated forecast, and sУУУУiФФУУб cмˆ4 PŽТ бФФ2ФФб cмˆ4 PŽТ б be the variance of the local forecast No.УУ iФФ and gУУУУijФФФФ be the covariance of the local forecast No.УУ iФФ andУУ jФФ. If the following inequality is true: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сeq \o(\s\up4(^),s)\s(ƒб cмˆ4 PŽТ б2,УУTФФб cмˆ4 PŽТ б) <УУ ФФeq \i\su(УУб cмˆ4 PŽТ бi,б cмˆ4 PŽТ бФФ , ) eq \o(\s\up4(^),s)\s(б cмˆ4 PŽТ б2,УУiФФб cмˆ4 PŽТ б) + eq \i\su(i РР, , )\I\su( j, , )gУУУУб cмˆ4 PŽТ бijб cмˆ4 PŽТ бФФСH1А"FСƒФФ(5Љ1) а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаthen, in general, it is not recommended to use the bottom up method, but to use the top down method. а H аС СIn many situations it is possible to use a more advanced forecasting model on the aggregated level. Also, the data on an aggregated level may be more consistent and less influenced by stochastic changes compared to data on a lower level. Hence, in most cases the inequality stated above will be satisfied for small countries. 5.2Тh  ТУУBottom up methodЦЦ а H аФФС СAs outlined in РSР 5.1 the bottom up method is defined as a procedure for making separate forecasts of the traffic between different countries directly. If the inequality given in РSР 5.1 is not satisfied, which may be the case for large countries, it is sufficient to use the bottom up method. Hence, one of the forecasting models mentioned in Recommendation E.507 can be used to produce traffic forecasts for different countries. 5.3Тh  ТУУTop down procedureЦЦ ФФС СIn most cases the top down procedure is recommended for producing forecasts of international traffic for a small country. In Annex D a detailed example of such a forecasting procedure is given. С СThe first step in the procedure is to find a forecasting model on the aggregated level, which may be a rather sophisticated model. LetУУ XУУTФФФФ be the traffic forecasts on the aggregated level and sУУУУTФФФФ the estimated standard deviation of the forecasts. С СThe next step is to develop separate forecasting models of traffic to different countries. LetУУ XУУiФФФФ be the traffic forecast to theУУ iФФУУб cмˆ4 PŽТ бthб cмˆ4 PŽТ бФФ country and sР;РУУУУiФФФФ the standard deviation. Now, the separate forecasts [УУXУУiФФФФ] have to be corrected by taking into account the aggregated forecastsУУ XУУTФФФФ. We know that in general аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СXƒб cмˆ4 PŽТ бУУTФФб cмˆ4 PŽТ бФФ РРУУ ФФeq \i\su(УУб cмˆ4 PŽТ бi,б cмˆ4 PŽТ бФФ , )УУ XУУiФФФФ СH7А"FС(5ƒР-Р2) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СLet the corrections of [УУXУУiФФФФ] be [УУX`УУiФФФФ], and the corrected aggregated forecast then beУУ X`УУTФФФФ = SУУ X`УУiФФФФ. С СThe procedure for finding [УУX`УУiФФФФ] is described in Annex C. ‚У У6ТX ТForecasting methods when observations are missingФ ФЦЦ 6.1Тh  ТУУIntroductionЦЦ а H аФФС СMost forecasting models are based on equally spaced time series. If one observation or a set of observations are missing, it is necessary either to use an estimate of missing observations and then use the forecasting model or to modify the forecasting model. С СAll smoothing models are applied on equally spaced observations. Also autoregressive integrated moving average (ARIMA)Р-Рmodels operate on equally spaced time series, while regression models work on irregularly spaced observations without modifications. С СIn the literature it is shown that most forecasting methods can be formulated as dynamic linear models (DLM). The Kalman Filter is a linear а H аmethod to estimate states in a time series which is modelled as a dynamic linear model. The Kalman Filter introduces a recursive procedure to calculate the forecasts in a DLM which is optimal in the sense of minimizing the mean squared one step ahead forecast error. The Kalman Filter also gives an optimal solution in the case of missing data. 6.2Тh  ТУУAdjustment procedure based on comparable observationsЦЦ а H аФФС СIn situations when some observations are missing, it may be possible to use related data for estimating the missing observations. For instance, if measurements are carried out on a set of trunk groups in the same area, then the traffic measurements on various trunk groups are correlated, which means that traffic measurements on a given trunk group to a certain degree explain traffic measurements on other trunk groups. С СWhen there is high correlation between two time series of traffic measurements, the relative change in level and trend will be of the same size. а H аС СSuppose that a time seriesУУ xУУtФФФФ of equidistant observations from 1 toУУ nФФ has an inside gap .УУ xУУtФФФФ is, for instance, the yearly increase. The gap consists ofУУ kФФ missing observations betweenУУ rФФ andУУ rФФ +УУ kФФ + 1. С СA procedure for estimating the missing observations is given by the following steps: а H аТа ТТ№ ТС€ Сi)СpСExamine similar time series to the series with missing observations and calculate the cross correlation.ЦЦ а H№ аТа ТТ№ ТС€ Сii)СpСIdentify time series with high cross correlation at lag zero.ЦЦ а H аТа ТТ№ ТС€ Сiii)Си СCalculate the growth factor DУУУУrФФ+УУiФФФФ betweenУУ rФФ andУУ rФФ +УУ kФФ of the similar time seriesУУ yУУtФФФФ:ЦЦ а HH ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8СDƒУУУУrФФ+УУiФФФФ = eq \f(УУ yУУrФФ+УУiФФФФ Р-РУУ yУУrФФФФ,УУ yУУб cмˆ4 PŽТ бrФФ+УУkФФ+1б cмˆ4 PŽТ бФФ Р-РУУ yУУrФФФФ) УУiФФ = 1, 2, . . .УУ kФФ СHL$FС(6ƒР-Р1) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС Сiv)СpСEstimates of the missing observations are then given by: а H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СƒФФeq \o(\s\up4(УУ^ФФ,УУxФФ))УУУ У!Unexpected End of Expression.Ф ФУУrФФ+УУiФФФФ =УУ xУУrФФФФ + DУУУУrФФ+УУiФФФФ (УУxУУб cмˆ4 PŽТ бrФФ+УУkФФ+1б cмˆ4 PŽТ бУУФФ Р-Р xУУrФФФФ) УУ iФФ = 1, 2, . . .УУ kСШ(А"&СƒФФ(6Р-Р2)аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬа С СУУExampleФФ а H аС СSuppose we want to forecast the time seriesУУ xУУtФФФФ. The series is observed from 1 to 10, but the observations at time 6, 7 and 8 are missing. However а H аa related time seriesУУ yУУtФФФФ is measured. The measurements are given in Table 1/506. ‚Ср SСб cмˆ4 PŽТ бTABLE 1/E.506 Ср 6СУ УMeasurements of two related time series; one with missing observationsФ Ф б cмˆ4 PŽТ бвЦ‹(€` P И Ј ˆрX8А€шиИ0ˆhЦв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHј` P И џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр YСааб cмˆ4 PŽТ бУУtФФ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHP И џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр XС 1 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHЈ xhџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр XС 2 Ср XС 3 Ср XС 4 Ср XС 5 Ср XС 6 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHи@Ј˜џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр XС 7 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџH0˜hџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр XС 8 Ср XС 9 Ср XС 10 а ˆ ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ0˜ˆhџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆ аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‹(€` P И Ј ˆрX8А€шиИ0ˆhЦв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџј` P И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?xСб cмˆ4 PŽТ бУУ xУУtФФФФ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?x€С 100 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЈ xhˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?x€С 112 Ср?x€С 125 Ср?x€С 140 Ср?x€С 152 Ср?xС Р-Р аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџи@Ј˜ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?xС Р-Р аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ0˜ˆhџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?xС Р-Р Ср?x€С 206 Ср?x€С 221 а ˆ аб cмˆ4 PŽТ бˆа ˆ аб cмˆ4 PŽТ бвЦ‹(€` P И Ј ˆрX8А€шиИ0ˆhЦв‡аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџј` P И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?xСб cмˆ4 PŽТ бУУ yУУtФФФФ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџP И ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?x€С 300 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЈ xhˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?x€С 338 Ср?x€С 380 Ср?x€С 422 Ср?x€С 460 Ср?x€С 496 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџи@Ј˜ˆџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?x€С 532 аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ0˜ˆhџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаСр?x€С 574 Ср?x€С 622 Ср?x€С 670 а ˆ аб cмˆ4 PŽТ бˆа H ааЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СThe last known observation ofУУ xУУtФФФФ before the gap at time 5 is 152, while the first known observation after the gap at time 9 is 206. С СHenceУУ rФФ = 5 andУУ kФФ = 3. The calculation gives: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СDУУ6ФФ = eq \f( 496 Р-Р 460, 622 Р-Р 460) = eq \f( 36, 162) С СDУУ7ФФ = eq \f( 532 Р-Р 460, 622 Р-Р 460) = eq \f( 72, 162) С СDУУ8ФФ = eq \f( 574 Р-Р 460, 622 Р-Р 460) = eq \f( 114, 162) С Сeq \o(\s\up4(^),УУxФФ)УУ6ФФ = 152 +eq \f( 36, 162) (206 Р-Р 152) =ггУУ 164ФФ С Сeq \o(\s\up4(^),УУxФФ)УУ7ФФ = 152 +eq \f( 72, 162) (206 Р-Р 152) =УУ 176ФФ С Сeq \o(\s\up4(^),УУxФФ)УУ8ФФ = 152 +eq \f( 114, 162) (206 Р-Р 152) =УУ 190ФФ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬа6.3Тh  ТУУModification of forecasting modelsЦЦ а H аФФС СThe other possibility for handling missing observations is to extend the forecasting models with specific procedures. When observations are missing, a modified procedure, instead of the ordinary forecasting model, is used to estimate the traffic. а H аС СTo illustrate such a procedure we look at simple exponential smoothing. The simple exponential smoothing model is expressed by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pССШ8Сeq \o(\s\up4(^),ƒУУmФФ)УУУУtФФФФ = (1 Р-РУУ aФФ)УУ yУУtФФФФ +УУ aФФeq \o(\s\up4(^),УУmФФ)УУУУtФФР-Р1СHK #FСƒФФ(6Р-Р3) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere Та ТТ№ ТС€ СУУyУУtФФФФ is the measured traffic at timeУУ tФФЦЦ Та ТТ№ ТС€ Сeq \o(\s\up4(^),УУmФФ)УУУУtФФФФ is the estimated level at timeУУ tФФЦЦ а H№ аТа ТТ№ ТС€ СУУaФФ is the discount factor [and (1 Р-РУУ aФФ) is the smoothing parameter].ЦЦ а H аС СEquation (6Р-Р3) is a recursive formula. The recursion starts at time 1 and ends atУУ nФФ if no observation is missing. Then a one step ahead forecast is given by: аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СƒФФeq \o(\s\up4(^),УУyФФ)УУУУtФФФФ (1) = eq \o(\s\up4(^),УУmФФ)УУУУtСHCА"FСƒФФФФ(6Р-Р4) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СIf some observations lying in between 1 andУУ nФФ are missing, then it is necessary to modify the recursion procedure. Suppose now thatУУ yФФУУ1ФФ,УУ yФФУУ2ФФ, . . .,УУ yУУrФФФФ,УУ yУУб cмˆ4 PŽТ бrФФ+УУkФФ +1б cмˆ4 PŽТ бУУФФ, yУУб cмˆ4 PŽТ бrФФ+УУkФФ +2УУФФб cмˆ4 PŽТ б, . . ., yУУnФФФФ are known andУУ yУУrФФ+1ФФ,УУ yУУrФФ+2ФФ, . . .,УУ yУУrФФ+УУkФФФФ are unknown. Then the time series has a gap consisting ofУУ kФФ missing observations. а H аС СThe following modified forecasting model for simple exponential smoothing is proposed in Aldrin [2]. аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚С СС pС(1 Р-РУУ aФФ)УУ yУУtФФФФ +УУ aФФ eq \o(\s\up4(^),УУmФФ)УУУУtФФР-Р1ФФ УУtФФ = 1, 2, . . . ,УУ rФФ С СС pСeq \o(\s\up4(^),УУmФФ)УУУУtФФФФ = (1 Р-РУУ aУУkФФФФ)УУ yУУtФФФФ +УУ aУУkФФФФeq \o(\s\up4(^),УУmФФ)УУУУtФФФФ УУtФФ =УУ rФФ+УУkФФ+1 С pСС8)С(6Р-Р5) С СС pС(1 Р-РУУ aФФ)УУ yУУtФФФФ +УУ aФФ eq \o(\s\up4(^),УУmФФ)УУУУtФФР-Р1ФФ УУtФФ =УУ rФФ+УУkФФ+2, . . . ,УУ nФФ аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаwhere аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHp8А"(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Ьа‚УУС СС pССШ8СaƒУУkФФФФ = eq \f(УУ aФФ,1 +УУ kФФ(1Р-РУУaФФ)УУб cмˆ4 PŽТ б2б cмˆ4 PŽТ бФФ)СH8А"FС(6ƒР-Р6) аЬџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџHpи P Ј XА`ИhР!(#џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЬаС СBy using the (6Р-Р5) and (6Р-Р6) it is possible to skip the recursive procedure in the gap betweenУУ rФФ andУУ rФФ +УУ kФФ + 1. С СIn Aldrin [2] similar procedures are proposed for the following forecasting models: Та ТР-РТ№ ТHolt's method,ЦЦ Та ТР-РТ№ ТDouble exponential smoothing,ЦЦ Та ТР-РТ№ ТDiscounted least squares method with level and trend,ЦЦ Та ТР-РТ№ ТHoltР-РWinters seasonal methods.ЦЦ а H аС СWright [17] and [18] also suggests specific procedures to modify the smoothing models when observations are missing. а H аС СAs mentioned in the first paragraph, regression models are invariant of missing observations. When using the least squares method, all observations are given the same weight. Hence, missing observations do not affect the estimation procedure and forecast are made in the usual way. а H аС СOn the other hand it is necessary to modify ARIMA models when observations are missing. In the literature several procedures are suggested in the presence of missing data. The basic idea is to formulate the ARIMA model as a dynamic linear model. Then the likelihood function is easy to obtain and the parameters in the model can be estimated recursively. References to work on this field are Jones [9] and [10], Harvey and Pierse [8], Ansley and Kohn [3] and Aldrin [2]. а H аС СState space models or dynamic linear models and the Kalman Filter are a large class of models. Smoothing models, ARIMA models and regression models may be formulated as dynamic linear models. This is shown, for instance, in Abraham and Ledolter [1]. Using dynamic linear models and the Kalman Filter the parameters in the model are estimated in a recursive way. The description is given, for instance, in Harrison and Stevens [7], Pack and Whitaker [13], Moreland [12], Szelag [15] and Chemouil and Garnier [6]. С СIn Jones [9] and [10], Barham and Dunstan [4], Harvey and Pierse [8], Aldrin [2] and BР-Рlviken [5] it is shown how the dynamic linear models and the Kalman Filter handle missing observations.